On the numerical integration of an explicit solution of the homologous collapse’s radial evolution in time

In a recent paper, Slepian and Philcox derive an explicit solution of the homologous collapse from rest of a uniform density sphere under its self-gravity as a function of time. Their solution is given in terms of two curvilinear integrals along a suitable Jordan contour; in practice, it must be approximated by a quadrature rule. The aim of this paper is to examine how the choice of the contour and the quadrature rule affects the accuracy and the efficiency of this integral solution approximation. More precisely, after a study of the complex roots of a transcendental equation that relates time with the variable, some alternative Jordan contours that turn out to be more convenient are proposed. Then, by using as quadrature rule the composite trapezoidal rule because of its reliability and spectral convergence accuracy, some numerical experiments are presented to show that the combination of contours and quadrature rule allows us to obtain numerical results with high accuracy and low computational cost

Singly TASE Operators for the Numerical Solution of Stiff Differential Equations by Explicit Runge–Kutta Schemes

In this paper new explicit integrators for numerical solution of stiff evolution equations are proposed. As shown by Bassenne, Fu and Mani in (J Comput Phys 424:109847, 2021), the action on the original vector field of the stiff equations of an appropriate time-accurate and highly-stable explicit (TASE) linear operator, allows us to use explicit Runge–Kutta (RK) schemes with these modified equations so that the resulting algorithm becomes stable for the original stiff equations. Here a new family of TASE operators is considered. The new operators, called Singly TASE, have the advantage over the TASE operators of Bassenne et al. that the action on the vector field depends on the powers of the inverse of only one matrix, which can be computationally more simple, without loosing stability properties. A complete study of the linear stability properties of k–stage, kth–order explicit RK schemes under the action of Singly TASE operators of the same order is carried out for k≤4. For orders two, three and four, particular schemes that are nearly strongly A–stable and therefore suitable for stiff problems are devised. Further, explicit RK schemes with orders three and four that can be implemented with only two storage locations under the action of Singly TASE operators of the same order are discussed. A particular implementation of the classical four–stage fourth–order RK scheme with two Singly TASE operators is presented. A set of numerical experiments has been conducted to demonstrate the performance of the new schemes by comparing with previous RKTASE and other established methods. The main conclusion is that the new integrators provide a very simple solver for stiff systems with good stability properties and avoids the difficulties of using implicit algorithms

Runge-Kutta projection methods with low dispersion and dissipation errors

In this paper new one-step methods that combine Runge–Kutta (RK) formulae with a suitable projection after the step are proposed for the numerical solution of Initial Value Problems. The aim of this projection is to preserve some first integral in the numerical integration. In contrast with standard orthogonal projection, the direction of the projection at each step is obtained from another suitable embed- ded formula so that the overall method is affine invariant. A study of the local errors of these projection methods is carried out, showing that by choosing proper embedded formulae the order can be increased for the harmonic oscillator. Particular embedded formulae for the third order method by Bogacki and Shampine (BS3) are provided. Some criteria to get appropriate dynamical directions for general problems as well as sufficient conditions that ensure the existence of RK methods embedded in BS3 according to them are given. Finally, some numerical experiments to test the behaviour of the new projection methods are presented

Estudio y construcción de métodos de integración numérica de tipo Runge-Kutta-Hermite-Birkhoff

En este trabajo fin de grado se pretende el análisis y construcción de un tipo particular de integradores numéricos más general que los métodos Runge-Kutta. El objetivo es el desarrollo de un código de integración numérica a paso variable de este tipo de esquemas con especial atención a las propiedades de dispersión y disipación numéricas

Diseño y presentación de material divulgativo matemático

Se desarrollarán tareas de diseño de material didáctico y divulgativo de tipo interactivo, aunque no exclusivamente en formato digital. El objetivo de este TFG es la presentación y uso de dicho material en actividades didácticas y de divulgación del IUMA: Espacio Etopia, Pabellón de la Ciencia, Noche de los investigadores, Talleres, . . . Los problemas a estudiar serán principalmente: • Carreteras y ruedas • Péndulo simple, doble y de longitud variabl

Estudio e implementación de distintos métodos de integración numérica para la resolución de la ecuación de transporte de flujo magnético en la superficie solar.

En este Trabajo de Fin de Grado se pretende analizar la resolución numérica de la ecuación de transporte de flujo magnético en la superficie solar. Se trata de una ecuación en derivadas parciales que, tras ser semidiscretizada espacialmente, da lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con deltas de Dirac. Se analizarán e implementarán en un código programado en Python diferentes métodos de integración numérica para su resolución

Métodos Peer explícitos con mínimo número de etapas efectivas

En este TFG se pretende el diseño e implementación de métodos Peer explícitos con mínimo número de etapas efectivas. La idea es aprovechar evaluaciones de función derivada del paso anterior (de manera similiar a First Same As Last desarrollada por Dormand y Price). El objetivo es desarrollar métodos de tres etapas altamente eficientes cuando se comparan con integradores estándar. Para ello, los métodos desarrollados con distintos objetivos (estabilidad absoluta, mínimo término principal del error local, superconvergencia) se implementarán en Python con suficientes problemas test.<br /

Modelos 3D de la colección de figuras de Zoel García de Galdeano

Este trabajo está basado en aspectos de geometría diferencial, análisis numérico y de divulgación. Se analizan los aspectos geométricos y matemáticos y de implementación para la visualización e impresión de algunas figuras de la colección de Galdeano

ARS Qubica, el patrón geométrico de la belleza

A menudo la mejor forma de probar algo es verlo. Este es el signi cado que atribuye el Centro Virtual Cervantes al proverbio de origen chino “Una imagen vale más que mil palabras”. Es obvio que la sociedad actual es altamente visual y tecnológica. Las animaciones, creaciones 3D y videojuegos son unas de las principales actividades de ocio de la juventud del siglo XXI. Parece claro que si queremos acercar la Ciencia a la juventud, el uso de estos recursos facilitará alcanzar nuestro objetivo. Las Matemáticas son un gran árbol cuyas ramas se alzan hacia el cielo de las ideas y el mundo de la abstracción. Sin embargo, sus raíces se hunden en la tierra de la realidad y en el barro de la cotidianidad. Son omnipresentes en las creaciones humanas, como árbitro de medida y proporción. Tal vez en las obras de arte, una de las expresiones características de la condición humana, su presencia se hace más evidente. En este trabajo analizamos la relación entre algunas obras de arte y las Matemáticas, en particular la Geometría, que aparecen en el audiovisual “Ars Qubica”. En esta animación 3D, se recrean ciertas estructuras geométricas de diferentes obras de arte, como el clavo y la pajarita nazarí de la Alhambra de Granada, algunas obras de la pintura suprematista rusa, el muro de la parroquieta de La Seo, el “Panot” de Gaudí, así como el grabado “Melancolía I” de Durero, entre otras

Una familia de métodos multi-revolución Runge-Kutta

A three parameter family of multirevolution Runge-Kutta explicit methods with order five and six stages is derived using suitable simplifying assumptions. An optimal method of this family is selected by choosing the available parameters so that vanish the coefficients of some elementary differentials in the leading error term. Numerical experiments are presented to show the behaviour of the new method for some oscillatory problems